Aplicant l'espectre freqüencial

En la classe d'avui hem començat amb un exemple de com trobar l'espectre freqüencia d'una tensió vg de senyal quadrada a l'entrada i hem observat que com més alta sigui la freqüència més abrupta serà la corba i menys s'assemblarà a una senoide. Hem vist que per realitzar aquests exercicis ens és molt útil treballar amb decibels micro volt ja que per trobar la sortida només hem de sumar-li a la entrada el guany en dB que ja sabem calcular de quan fèiem Bode.


Després ens hem  plantejat com poder dissenyar un circuit que enes permeti  trobar el valor mig d'un senyal.
Tot i que al principi pugui semblar molt difícil, hem anat procedint poc a poc per tal d'obtenir el resultat esperat.
Si ens fixem amb la Sèrie de Fourier en què descomposem la nostra senyal d'entrada veïem que el terme de freqüència 0, Co és en sí el valor mig de la senoide d'entrada, així que el que hem de fer és evitar que les altres senoides que en són suma apareixin al nostre circuit.

Lògicament no les podem eliminar del tot, però el que sí que podem fer és seleccionar una freqüència de tall del filtre "paso bajo" molt menor a la freqüència fonamental de la senyal d'entrada del nostre circuit.

SIGNAL/NOISE

Tot seguit, hem definit un nou concepte, el qüocient senyal/soroll, que ens dóna una idea de com d'efectiu és el nostre filtre i si queda molt de rastre de les senoides "paràsites" que volíem eliminar o no pas tant. Hem establert que per no ser un error important podíem despreciar una diferencia d'uns 30dB i en general 2 ordres de magnitud de diferència.

Per últim ens hem preguntat com poder d'un senyal periòdic el que sigui tenir a la sortida només la seva amplitud és a dir en DC.

Per això hem vist que, si aplicàvem una senoide amb una certa freqüència fo a la sortida necessàriament hi havia d'haver un senyal amb aquesta freqüència, per tant sembla com si haguèssim de treballar amb circuits no lineals. Però abans de creuar la frontera prohibida, que no ho farem, podríem tenir en compte un circuit conegut a electrònica com a un filtre de mig cicle amb un díode de manera que només tenim els semicicles positius de la senoide.

Finalment hem vist que per obtenir vo=vm(Amplitud de la senyal d'entrada) havíem  de montar un circuit "potent" combinant tot allò que hem aprés durant el curs, el circuit és el següent:

Circuits amb excitació periòdica. Jean Baptiste Joseph Fourier

En la classe d'avui hem vist com treure-li profit a les sèries de fourier apreses a càlcul avançat en circuits. Hem vist que mitjançant un espectre de freqüències podem descriure la font generadora vg(t) en un sumatori d'n termes, mitjançant l'aproximació per fourier i que serà més exacte com major sigui el nombre "n" de termes.

Fourier, a més, va definir que l'error quadràtic mitjà fruit d'utilitzar la seva aproximació era ajustable segons els n termes que possèssim.

Hem anomenat a la fo que acompanya el terme C1 del nostre sumatori freqüència fonamental, ja que totes les altres són múltiples d'aquesta. Així, també podem definir les tensions v1,v2,v3....vn en general com a harmònics, i més concretament, v1 com a harmònic fonamental.

Tot seguit hem vist com dur a terme la representació espectral en un senyal quadrat mitjançant les fòrmules donades per Fourier i les nocions que tenim de complexes per poder trobar el resultat.
A continuació, amb eles resultants obtinguts hem fet una taula on hem vist que per a n parells, els termes cn eren 0 i així amb l'angle, això en tot els parells. Així hem obtingut l'espectre de tensions quadrades.

MOLT BONIC, PERÒ ÉS BONA L'APROXIMACIÓ?

Per últim ens hem preguntat si l'aproximació era bona mitjançant un exemple on hem calculat la potència en una resistència Rl deguda en un cas només per un generador arbitràri, o en el segon cas per una font contínua(terme Co) i per, en aquest cas, 2 fonts alternes de freqüències fo i 2fo respectivament.
Hem demostrat llavors que només tenint n=2, l'error ja és d'un mínim 5% cosa que farà que sigui una fantàstica aproximació per facilitar-nos els càlculs en treballar amb excitacions periòdiques i ens permetrà "traduir" senyals quadrats,triangulars,....a senoides.

Jean Baptiste Joseph Fourier

Nous conceptes arrant de l'anàlisi pel traçat de Bode

En la classe d'avui, hem començat per un repàs del concepte de pics de ressonància, quan es donava (arrels complexes conjugades, és a dir, rho menor que 0,1.

Hem vist que amb aquesta condició, si calculàvem el guany en les arrels és a dir, en wo+rho·who i la seva conjugada, trobavem que en els dos ens quedava que el guany era el mateix del pic -3dB a aquestes w's caràcterístiques se'ls denomina de tall superior i inferior (vistes a física 1 sense explicar d'on sortien) i hem definit el Band Widht, l'ample de banda com la resta entre les dues.

                             

Un cop, arribats aquí hem trobat interessant i convenient tenir algun paràmetre per a calificar la qualitat del pic de ressonància, podem raonar, per exemple, que amb un ample de banda més petit, tindrem una sensibilitat, una qualitat major. Així doncs, el factor de qualitat és: Q=f/Bw


Per fer-ne un exemple, hem représ un anteriorment fet a classe i hem vist que com que cumplia que rho era menor que 0,1 podia tenir pics de ressonància, a continuació, hem fet el diagrama de Bode i hem comentat com representar-ho amb PSPICE degudament (triant un interval de freqüències que ens permeti veure que passa a l'esquerra i a la dreta de la freqüència característica del nostre circuit).


Per últim, hem introduït una nova unitat en què expressar el guany el dBmicroV, hem vist que ens queda una expressió similar a la que relacionava dBm amb dB (Pin, Pl). Ens queda la següent expressió:

             dBmicrovolt Vo=GdB+dBmicrovolt Vg

Hem acabat veient un exemple pràctic d'aplicació.

Aprofundint més en els traçats de Bode

En la classe d'avui, després d'un breu incís fet sobre l'aproximació de fases amb Bode, mostrant que enlloc de mostrar el salt de, per exemple 0 a pi/2 radians podem mostrar entre aquests dos una recta de tendència d'un cert pendent rad/dec o bé rad/oct.

Després mitjançant un exemple d'un filtre de pas baix amb una R i C conegudes hem representat gràficament l'amplitud i la fase en funció del log de la freqüència que també era coneguda. i hem avaluat l'expressió de guany en una freqüència situada molt a la dreta (2 dècades major que la de tall).

Al següent exemple sí que hem vist una nova cosa, que, quan canvíem la R per la C i a l'inrevés (Dibuix més a sota). Obtenim una funció de xarxa on, si les separem en  dos dels casos comentats anteriorment com a factors(en teníem 4), els dos en què la separem tenen la mateixa freqüència característica w1=w2=1/RC.
    

Al representar hem vist llavors que quan la freqüència era inferior a 1/RC només teníem la de pendent positiu, però si era major una s'anul·lava amb l'altre (Una de pendent +20db/dec, l'altra de -20dB/dec).

Hem vist que amb Bode ens seria fàcil també fer-ho si w1 fós diferent d'w2 seguint el mateix raonament.

POLINOMIS DE SEGON ORDRE

Per últim i la part més extensa de la classe ha estat anal·litzar el cas en que ens trobem polinomis de segon ordre en la funció de xarxa del nostre circuit i com realitzar-ne el traçat de Bode. Hem vist que hi trobem dos paràmetres claus, rho i wo que faran variar les arrels del nostre polinomi.

Hem distingit entre 4 casos i hem fet un exemple de l'últim veïent que trobavem un màxim en w=wo, anomenat pic de ressonància (pel seu símil sonor).

Corbes de resposta freqüencial

En la classe d'avui hem vist que si recordem el principi de curs quan vam aprendre a trobar la funció de xarxa característica d'un circuit concret i inclús classificar-les de manera que simplement veïent un circuit sabíem la resposta que n'obtindríem amb una certa excitació Vg.

Doncs, a partir d'aquesta expressió podem obtenir els traçats de Bode que ens mostraran la corba d'amplificació del circuit de modul |H|=|Vo|/|Vg|.

Per tal de poder-la dibuixar, un cop factoritzats els polinomis del denominador i numerador i trobades les arrels, hauríem de saber si té mínims, màxims, etc....és a dir, MOLT de càlcul. 

Per evitar això, Bode va proposar treballar amb una expressió logarítimica (una pel mòdul,una per l'angle) que ens estalviarà, encara que no ho sembli, molta feina alhora de trobar certs guanys en qualsevol punt.

 20log(H(jw)) -> log w

 argH(jw) -> log w

Per això, anomenem "zeros" a les arrels del numerador i "Pols" a les arrels del denominador.
Partint d'això podem establir uns diagrames P-Z i trobar les corbes, però enlloc de trobar una corba que complica el càlcul  trobarem una recta d'amplificació de cert pendent fàcil de trobar i de la qual podrem deduïr altres amplificacions a diferents punts.

Hem vist, mitjançants 4 factors (4 exemples en diferents tipus de funció de xarxa) i hem vist que quan ens és més útil Bode és quan tenim expressions del tipus:

-On,si:

• W<<w     El guany en dB=0

• W>>w     Decreix en el cas proposat, en 20 dB.

Hem compravat que l'error és mínim en expressions d'aquest tipus pel que fa a l'amplificació, pel que fa a l'angle sí que hi ha errors importants.

Traçats de Bode/Aproximació Real

Usos del transformador perfecte aplicats a exemples pràctics

Avui, hem començat la classe amb una reflexió sobre la situació actual de l'universitat pública, una situació molt preocupant portava per una colla d'ineptes i corruptes rectors de les universitats públiques en generals que s'han posat al servei d'un govern privatitzador i liberal a més no poder, totalment d'acord amb el professor.

Després, tornant a circuits lineals hem comentat les principials tres aplicacions que li donarem al transformador perfecte, que són:

1. Canviar Voltatges i Intensitats

Hem parlat del cas més correct, 220Volts eficaços amb una Ief corresponent i una Rl de sortida que podia tractar-se de qualsevol aparell electrodomèstic de casa, per exemple. Hem vist que amb una relació de n=1000 podíem augmentar significativament Vef. A partir d'aquí i el càlcul de la potència Pl i les pèrdues hem vist que per tal de minimitzar les pèrdues podem fer dues coses, o bé en paral·lel al inductor hi col·loquem un condensador que ens permeti que a una freqüència constant poguem seguir les equacions del transformador o bé fem l'inductor molt gros per què quasi no hi circuli corrents, hem vist que és més econòmica i pràctica la primera via.

2. Canviar Impedàncies.

Per tal de variar el valor de les impedàncies depenen si volem una Rl>Rin o bé Rl<Rin haurem de agafar una relació de transformació n concreta i per això, si volem augmentar la relació doncs buscarem un coeficient de permeabilitat magnètic major i si busquem una Rl<Rin llavors podem girar el trafo, és a dir, el primari i el secundari posar-los al revés fent la relació inversa.

3. Aïllament elèctric entre primari i secundari.

Per últim hem vist per a què serveix posar les mateixes espires al primari que al secundari,hem vist que tots els aparells com telèfons, modems etc en porten, per tal d'evitar descàrregues al secundari, és un element de seguretat indispensable.

Finalment, hem introduït el concepte del Teorema de la Màxima Transmissió de Potència (TMTP) que el que ens diu és que, per tal de transmetre la Pl màx el resistor del generador ha de ser igual que el de la sortida.

Vist en general,un cop fet el CTF i el Thevenin equivalent,amb inductàncies i transformadors hem vist que la inductància de sortida era la conjuda de la de Thevenin.

De l'idealitat a la perfecció

En la classe d'avui hem començat amb un breu resum sobre el que vam veure en la darrera classe, el transformador ideal, i tot mitjançant un exemple present ja en els exercicis per entregar aquesta setmana hem pogut veure el model que més s'hi assembla a la realitat.

EL TRANSFORMADOR PERFECTE

Com podem observar ja hem passat d'incloure l'adjectiu ideal a perfecte, tot i això el model circuital del transformador perfecte és, pràcticament igual al de l'ideal (per alguna cosa és el que més s'hi assembla). Així doncs ens queda el següent model circuital:

L1=Inductància

Si ens fixem amb detall en el model circuital obtingut veurem que, a diferència del seu antecessor purament teòric, aquest no pot funcionar en DC ja que la bobina seria un curtcircuit i no es cumplirien les equacions plantejades en el TI.

SIMBOLOGIA:

En el nou circuit la "n" no podrà ser qualsevol sino que vindrà definida per:


                

Tot seguit hem vist que havíem d'utilitzar ferrita (material amb un alt coeficient de permeabilitat magnètica però aïllant) ja que si utilitzàvem, per exemple ferro, estàvem creant una bobina d'una sola espira que produïa un curcircuit que anul·lava l'efecte del transformador com un d'ideal.

Després d'incedir més en l'electromagnetisme que hi està involucrat hem justificat la fòrmula donada més amunt.
Finalment, després d'uns exemples hem parlat sobre com s'apliquen els transformadors a la vida diària, per exemple, en una tenda els llibres tenen una part del transformador en el xip que porten perquè si algu intentés robar-lo al completar-se el transformador amb l'arc de la porta, pitaria. A caixa el que ens fan és amb un fort camp magnètic incidit en el xip, cremar el fusible que porta per evitar que piti (es podria fer amb un fort electroimant).

Espero que no en fem mai mal ús d'aquests coneixements.