Detallant la resposta d'un circuit a una certa excitació (Objectiu principal del curs!)

Després d'un repàs dels exercicis setmanals i de com identificar i classificar les funcions de xarxa segons on tinguin els seus pols, hem respós la pregunta de : Quan durarà el règim transitori?

La resposta, que, lògicament només plausible en circuits estables en que les seves components pròpies tendeixin a convergir en un cert interval de temps t que serà major o menor depenent de la forma de la resposta pròpia (exponencial, constant....)

La duració del transitori, tindrà relació amb el temps que per conveni s'aproxima a uns 5 cops la constant de temps, era doncs igual a: 

•  D.Tr= 5/tau;

 Depenent del circuit tau variara, per exemple en un circuit de filtre paso bajo, tíndrem tau=RC,etc... 
També podem expressar la duració del transitori com l'invers de l'ample de banda (BW=Band Width)

Tot seguit ens hem plantejat com el PSPICE aconsegueix fer les gràfiques que hem fet en els últims exercicis sense saber derivar i per tant trobar quan val la sortida en funció de la entrada en un cert punt, el que fa és, aplicar la definició de derivada i anar agafant petits intervals que seran més o menys depenent de com de complexa sigui la excitació.

• Criteri per triar "Ts"----> Ts<Duració transitori /100

Finalment hem introduit una nova paraula al nostre vocabulari: "Discretitzar" que és el que fa el PSPICE, de manera que en un cert instant de temps nTs podem saber que vo(nTs) és igual a ella mateixa en un instant abans més la vg en nTs.
Per acabar hem realitzar una introducció al processat numèric (massa matemàtic) com a mostra d'aplicació d'un algoritme que permetés fer els càlculs discrets per determinar la gràfica. Hem vist que té una limitació si augmentem molt la freqüència de mostreig si el nostre PC no pot fer els càlculs a tanta velocitat.

Donat aquest problema, el criteri de Nyquist ens diu que :

                    Fmostreig>=2fmàx

Exemple del pas de règim transitori a permanent

Més Laplace

Avui, després d'un repàs breu sobre el que vam veure la classe passada, hem descrit com es "veurien" una R, una L i una C en el "món" del Laplace.

1. Un resistor R-->R
2. L-----> Ls-Li(0-)--->si tenim que l'excitació en t=0 és 0, llavors... L--> Ls
3. C----->Cs-V(0-)/s---> si tenim que l'excitació en t=0 és 0, llavors...C-->Cs

Després, mitjançant uns exemples amb uns esquemes circuitals més que coneguts hem trobat la transformada de Laplace de les tensions de sortida de cadascun dels circuits , recordant que, segons on tingui la nostre funció de xarxa els pols, sabrem si serà una funció creixent (Semipla dret) o bé decreixent (semipla esquerra). 

1er Exemple:

Un cop trobada la transformada de laplace per trobar l'expresió vo(t) antitransformem utilitzant la descomposició en factors simples i trobem l'expressió de vo en funció del temps.

Per tal de trobar amb més exactitud quan durà exactament la fase transitòria mentres la nostra tensió no entre en RPS(si és que ho fa), haurem de trobar els factors concrets tau i K en cada cas concret, però en termes generals veïem que per a t= 5tau és més que suficient perquè en exponencials decreixents la resposta pròpia hagi desaparegut.

Per tant, tenim dos casos:

1. Circuits estables: Arrels en el semipla esquerra, al cap d'un cert temps que depèn de tau només tindrem la resposta forçada per com sigui l'excitació Vg a l'entrada. La pròpia es dispersa. Funcions decreixents tendint cap a 0.
2. Circuits inestables: Arrels en el semipla dret. No es dissipen, sinó que augmenten, funcions creixents tendint cap a infinit, encara que ho analitzem amb una excitació petita i en poc temps.

Transformada de Laplace

En la classe d'avui,que ha sigut molt rigurosament matemàtica, hem introduït el concepte de transformada de Laplace que ens servirà per saber quan dura la frase transitòria del nostre circuit abans d'arribar a la fase de règim permanent sinusoïdal o podrem saber si hi arriba o no.


                            

Definició Transformada Laplace d'una certa funcio F(t)

A continuació a través de la definició de transformada de Laplace d'una funció genèrica hem anat trobant una sèrie de funcions, les més comuns com a excitacions dels nostres circuits i hem realitzat "una taula" amb elles.
1) Excitació Vc
2) Exponencial decreixent
3) " Creixent
4) Vm·cos(t)
5) Vm·sin(t)
6) Delta de Dirac(Funció esglaó)

NOTA: Si tenim arrels del tipus (s-p), depenen si p es troba al semipla esquerra o al semipla dret podem dir que:

• Dret: Funcions decreixents amb el temps
• Esquerra: Funcions creixents amb el temps

Hem vist un exemple amb un circuit i hem també donat una mena de "circuits asimptòtics" per compravar si em Antitransformat correctament o no.

Finalment i això ens ha tranquil·litzat, hem vist que quan analitzem Inductàncies L aplicant Laplace obtindrem "LS"!
Sí! Com quan trobavem la funció de xarxa H(S) i veiem que canviavem L per LS!
Així que, no serà tant diferent al que havíem fet fins ara, segons el professor, a partir de la pròxima classe, ens trobarem més en el nostre terreny on ja hi estarem més còmodes, esperem que així sigui!



           

Pierre-Simon Laplace

Aplicant l'espectre freqüencial

En la classe d'avui hem començat amb un exemple de com trobar l'espectre freqüencia d'una tensió vg de senyal quadrada a l'entrada i hem observat que com més alta sigui la freqüència més abrupta serà la corba i menys s'assemblarà a una senoide. Hem vist que per realitzar aquests exercicis ens és molt útil treballar amb decibels micro volt ja que per trobar la sortida només hem de sumar-li a la entrada el guany en dB que ja sabem calcular de quan fèiem Bode.


Després ens hem  plantejat com poder dissenyar un circuit que enes permeti  trobar el valor mig d'un senyal.
Tot i que al principi pugui semblar molt difícil, hem anat procedint poc a poc per tal d'obtenir el resultat esperat.
Si ens fixem amb la Sèrie de Fourier en què descomposem la nostra senyal d'entrada veïem que el terme de freqüència 0, Co és en sí el valor mig de la senoide d'entrada, així que el que hem de fer és evitar que les altres senoides que en són suma apareixin al nostre circuit.

Lògicament no les podem eliminar del tot, però el que sí que podem fer és seleccionar una freqüència de tall del filtre "paso bajo" molt menor a la freqüència fonamental de la senyal d'entrada del nostre circuit.

SIGNAL/NOISE

Tot seguit, hem definit un nou concepte, el qüocient senyal/soroll, que ens dóna una idea de com d'efectiu és el nostre filtre i si queda molt de rastre de les senoides "paràsites" que volíem eliminar o no pas tant. Hem establert que per no ser un error important podíem despreciar una diferencia d'uns 30dB i en general 2 ordres de magnitud de diferència.

Per últim ens hem preguntat com poder d'un senyal periòdic el que sigui tenir a la sortida només la seva amplitud és a dir en DC.

Per això hem vist que, si aplicàvem una senoide amb una certa freqüència fo a la sortida necessàriament hi havia d'haver un senyal amb aquesta freqüència, per tant sembla com si haguèssim de treballar amb circuits no lineals. Però abans de creuar la frontera prohibida, que no ho farem, podríem tenir en compte un circuit conegut a electrònica com a un filtre de mig cicle amb un díode de manera que només tenim els semicicles positius de la senoide.

Finalment hem vist que per obtenir vo=vm(Amplitud de la senyal d'entrada) havíem  de montar un circuit "potent" combinant tot allò que hem aprés durant el curs, el circuit és el següent:

Circuits amb excitació periòdica. Jean Baptiste Joseph Fourier

En la classe d'avui hem vist com treure-li profit a les sèries de fourier apreses a càlcul avançat en circuits. Hem vist que mitjançant un espectre de freqüències podem descriure la font generadora vg(t) en un sumatori d'n termes, mitjançant l'aproximació per fourier i que serà més exacte com major sigui el nombre "n" de termes.

Fourier, a més, va definir que l'error quadràtic mitjà fruit d'utilitzar la seva aproximació era ajustable segons els n termes que possèssim.

Hem anomenat a la fo que acompanya el terme C1 del nostre sumatori freqüència fonamental, ja que totes les altres són múltiples d'aquesta. Així, també podem definir les tensions v1,v2,v3....vn en general com a harmònics, i més concretament, v1 com a harmònic fonamental.

Tot seguit hem vist com dur a terme la representació espectral en un senyal quadrat mitjançant les fòrmules donades per Fourier i les nocions que tenim de complexes per poder trobar el resultat.
A continuació, amb eles resultants obtinguts hem fet una taula on hem vist que per a n parells, els termes cn eren 0 i així amb l'angle, això en tot els parells. Així hem obtingut l'espectre de tensions quadrades.

MOLT BONIC, PERÒ ÉS BONA L'APROXIMACIÓ?

Per últim ens hem preguntat si l'aproximació era bona mitjançant un exemple on hem calculat la potència en una resistència Rl deguda en un cas només per un generador arbitràri, o en el segon cas per una font contínua(terme Co) i per, en aquest cas, 2 fonts alternes de freqüències fo i 2fo respectivament.
Hem demostrat llavors que només tenint n=2, l'error ja és d'un mínim 5% cosa que farà que sigui una fantàstica aproximació per facilitar-nos els càlculs en treballar amb excitacions periòdiques i ens permetrà "traduir" senyals quadrats,triangulars,....a senoides.

Jean Baptiste Joseph Fourier

Nous conceptes arrant de l'anàlisi pel traçat de Bode

En la classe d'avui, hem començat per un repàs del concepte de pics de ressonància, quan es donava (arrels complexes conjugades, és a dir, rho menor que 0,1.

Hem vist que amb aquesta condició, si calculàvem el guany en les arrels és a dir, en wo+rho·who i la seva conjugada, trobavem que en els dos ens quedava que el guany era el mateix del pic -3dB a aquestes w's caràcterístiques se'ls denomina de tall superior i inferior (vistes a física 1 sense explicar d'on sortien) i hem definit el Band Widht, l'ample de banda com la resta entre les dues.

                             

Un cop, arribats aquí hem trobat interessant i convenient tenir algun paràmetre per a calificar la qualitat del pic de ressonància, podem raonar, per exemple, que amb un ample de banda més petit, tindrem una sensibilitat, una qualitat major. Així doncs, el factor de qualitat és: Q=f/Bw


Per fer-ne un exemple, hem représ un anteriorment fet a classe i hem vist que com que cumplia que rho era menor que 0,1 podia tenir pics de ressonància, a continuació, hem fet el diagrama de Bode i hem comentat com representar-ho amb PSPICE degudament (triant un interval de freqüències que ens permeti veure que passa a l'esquerra i a la dreta de la freqüència característica del nostre circuit).


Per últim, hem introduït una nova unitat en què expressar el guany el dBmicroV, hem vist que ens queda una expressió similar a la que relacionava dBm amb dB (Pin, Pl). Ens queda la següent expressió:

             dBmicrovolt Vo=GdB+dBmicrovolt Vg

Hem acabat veient un exemple pràctic d'aplicació.

Aprofundint més en els traçats de Bode

En la classe d'avui, després d'un breu incís fet sobre l'aproximació de fases amb Bode, mostrant que enlloc de mostrar el salt de, per exemple 0 a pi/2 radians podem mostrar entre aquests dos una recta de tendència d'un cert pendent rad/dec o bé rad/oct.

Després mitjançant un exemple d'un filtre de pas baix amb una R i C conegudes hem representat gràficament l'amplitud i la fase en funció del log de la freqüència que també era coneguda. i hem avaluat l'expressió de guany en una freqüència situada molt a la dreta (2 dècades major que la de tall).

Al següent exemple sí que hem vist una nova cosa, que, quan canvíem la R per la C i a l'inrevés (Dibuix més a sota). Obtenim una funció de xarxa on, si les separem en  dos dels casos comentats anteriorment com a factors(en teníem 4), els dos en què la separem tenen la mateixa freqüència característica w1=w2=1/RC.
    

Al representar hem vist llavors que quan la freqüència era inferior a 1/RC només teníem la de pendent positiu, però si era major una s'anul·lava amb l'altre (Una de pendent +20db/dec, l'altra de -20dB/dec).

Hem vist que amb Bode ens seria fàcil també fer-ho si w1 fós diferent d'w2 seguint el mateix raonament.

POLINOMIS DE SEGON ORDRE

Per últim i la part més extensa de la classe ha estat anal·litzar el cas en que ens trobem polinomis de segon ordre en la funció de xarxa del nostre circuit i com realitzar-ne el traçat de Bode. Hem vist que hi trobem dos paràmetres claus, rho i wo que faran variar les arrels del nostre polinomi.

Hem distingit entre 4 casos i hem fet un exemple de l'últim veïent que trobavem un màxim en w=wo, anomenat pic de ressonància (pel seu símil sonor).